Adam Strycharski

Konstrukcja i własności dualnego modelu Isinga dla dwuwymiarowego modelu Isinga z oddziaływaniem najbliższych i następnych sąsiadów na sieci prostokątnej

Symetrie dualności są dobrze zbadane dla wielu 2-d modeli Isinga z oddziaływaniem najbliższych sąsiadów. Dzięki nim można wyznaczyć ściśle temperatury krytyczne wielu modeli bez znajdowania ich sum stanów. Konstrukcje modeli dualnych opierają się na możliwości wprowadzenia sieci dualnej do sieci wyjściowej rozpatrywanego modelu, w którym występują jedynie oddziaływania najbliższych sąsiadów. Niestety te konstrukcje nie dają się przeprowadzić w przypadku gdy w modelu wyjściowym uwzględniamy krzyżujące się oddziaływania dalszych sąsiadów. Opiszę metodę konstrukcji modelu dualnego do modelu Isinga z oddziaływaniami najbliższych i dalszych sąsiadów, która bazuje na transformacjach podobieństwa macierzy przejścia wyjściowego modelu, a która nie wymaga wprowadzania pojęcia sieci dualnej. Otrzymany model dualny zawiera oddziaływania 2-spinowe a także oddziaływania 4-spinowe, które są obrazem oddziaływań następnych sąsiadów poprzez transformację dualności. Następnie przedstawię jakościowe wnioski dotyczące zachowania się temperatury krytycznej modelu dualnego w oparciu o analizę dwóch szczególnych granicznych przypadków, dla których można znaleźć ścisłe rozwiązanie. Niestety nie da się znaleźć sumy stanów dla tego modelu w ogólnym przypadku, dlatego w dalszej części referatu przedstawię wyniki numerycznej analizy krytycznych własności rozpatrywanego modelu. Przejście fazowe w modelach Isinga pojawia się gdy, dla temperatur poniżej temperatury krytycznej, maksymalna wartość własna macierzy przejścia staję się zdegenerowana. Przedstawię wyniki numeryczne analizy dwóch największych wartości własnych macierzy przejścia rozpatrywanego modelu dla sieci, w których w jednym kierunku mamy dowolną liczbę węzłów a w drugim liczba węzłów wynosi nie więcej niż 24. W tym granicznym przypadku trzeba diagonalizować macierze kwadratowe o wymiarze 224. Jest to granica możliwości naszego instytutowego klastra komputerowego. Numeryczna analiza potwierdza analityczne przewidywania. Na zakończenie przedstawię numeryczna analizę wykładników krytycznych rozważanego modelu.